Garis singgung pada parabola \( \displaystyle y = x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \) yang sejajar dengan garis \( x – 2y + 3 = 0\) adalah…
Pembahasan:
Diketahui \( \displaystyle y = x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \) sehingga turunan pertama dari \(y\) adalah \( y’ = 2x + 6 \frac{1}{2}x \).
Selanjutnya, garis \(x – 2y + 3 = 0\) memiliki gradien
\[ m = - \frac{ \text{Koefisien} \ x}{ \text{Koefisien} \ y} = - \frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \]
Karena \( y’ = m \) maka kita peroleh:
\begin{aligned} y' = m \Leftrightarrow 2x + 6 \frac{1}{2} &= \frac{1}{2} \\[8pt] 2x &= \frac{1}{2}-6 \frac{1}{2} \\[8pt] x &= \frac{-6}{2} = -3 \end{aligned}
Selanjutnya, dengan substitusi \(x = -3\) pada \(y\), kita peroleh hasil berikut:
\begin{aligned} y &= x^2 + 6 \frac{1}{2}x + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= (-3)^2 + 6 \frac{1}{2}(-3) + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= 9 - 19 \frac{1}{2} + 14 \frac{1}{2} \\[8pt] &= 9 - 5 = 4 \end{aligned}
Jadi, titik singgungnya di (-3,4). Dengan demikian, persamaan garis yang bergradien \( m = \frac{1}{2} \) dan melalui titik \( (x_1,y_2) = (-3,4) \) adalah
\begin{aligned} y-y_1 &= m(x-x_1) \\[8pt] y-4 &= \frac{1}{2}(x+3) \\[8pt] y-4 &= \frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \\[8pt] 2y - 8 &= x + 3 \\[8pt] 2y - x - 11 &= 0 \end{aligned}
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah \(2y - x - 11 = 0\).
Pilihan jawaban yang tepat adalah D.